എന്താണ് സംഖ്യകൾ? - 1

എല്ലാവരുടെയും കണ്ണിലെ കരടാണ് കണക്ക് എന്ന വിഷയം. വിദ്യാഭ്യാസത്തിലെയും,അധ്യാപനത്തിന്റെയും പാകപ്പിഴവ് കൊണ്ട് വരുന്നതാണതിലെ 95 ശതമാനവും.
എന്നാൽ,കണക്കിലെ അടിസ്ഥാനമായ സംഘ്യകളെ കുറിച്ച നമുക്ക്,ചില കാര്യങ്ങൾ ഒന്ന് ചർച്ച ചെയ്താലോ?

അക്കങ്ങൾ ഒമ്പതെണ്ണം ഉണ്ട്. ഭാരതീയരുടെ കണ്ടെത്തലായ പൂജ്യവും കൂടി ചേർത്താൽ,മൊത്തം പത്ത് .

കണക്കാണ് എല്ലാത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാനം,കണക്കാണ് എല്ലാത്തിന്റെയും ആധാരം എന്നൊക്കെ പറയാറുണ്ട്. നല്ലതാണ്,പക്ഷെ അടിസ്ഥാന രഹിതം എന്നെ ഞാൻ പറയു. ചിലതിന്റെ അടിസ്ഥാനം കണക്കാണ്,അത്രയേ ഉള്ളു.
മനുഷ്യൻ ഉണ്ടായ മുതൽ എണ്ണലും കൂട്ടലും,കണക്കും ഉപയോഗത്തിലുണ്ട്.എന്നാൽ ഇന്നത്തെ പോലെ അക്കങ്ങൾ പണ്ടില്ലായിരുന്നല്ലോ,അപ്പൊ അന്നൊന്നും കണക്കായിരുന്നില്ലേ ആൾക്കാർ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നത്?

അന്നും ഇന്നും കണക്ക്,കണക്ക് തന്നെയാണ്. റോമൻ ന്യുമറേൽസ് തൊട്ട്,ഇന്നത്തെ അറേബ്യൻ നമ്പർ സിസ്റ്റം വരെ, ബൈനറി തൊട്ട് വലിയ എൻകോഡിങ് വരെ ഇന്നുണ്ട്. 123456789 തുടങ്ങിയവയാണ്,നമ്മുടെ ഇന്നത്തെ നമ്പറുകൾ. മലയാളത്തിൽ,ഇതിനു പകരമായി  ൧,൨,൩,൪,൫,൬,൭,൮,൯, എന്നിവയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. പൂജ്യത്തിനു കാര്യമായി ഒന്നുമില്ല,എന്നതാണു വാസ്തവം.

അതെല്ലാം തത്കാലം അവിടെ നിൽക്കട്ടെ.
നമുക്ക് വേറൊരു തരത്തിൽ ചിന്തിച്ച നോക്കാം.

ഈ ഒന്നും ഒന്നും വലിയ ഒന്ന് എന്ന്,ബഷീർ പറഞ്ഞത് പോലെ, ഒന്നും ഒന്നും രണ്ടാണെന്ന് ആരാ പറഞ്ഞിട്ടുള്ളത്? ഇത് ചോദിക്കുമ്പോൾ,ചോദ്യംനിസ്സാരമായി  തോന്നാം. ഒന്നും ഒന്നും രണ്ടാണെന്ന് എല്ലാര്ക്കും അറിയാമല്ലോ,പിന്നെന്തിനാ തെളിയിക്കുന്നത്?
പക്ഷെ കണക്കെന്നാൽ ,ശാസ്ത്രത്തിന്റെ അടിത്തറയാണല്ലോ,തെളിവ് സഹിതം ഇല്ലാത്തതൊന്നും ശാസ്ത്രമല്ലെന്നാണല്ലോ പ്രമാണം,അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ ഇതെങ്ങനെ ശെരിയാവും?
ഒന്നും ഒന്നും രണ്ടാണെന്നത് പ്രാപഞ്ചിക സത്യമാക്കിയത് ആര്? എന്തിനു?
-------------------------------------------------------

നമ്പറുകൾ അഥവാ അക്കങ്ങൾക്ക് പലയിടത്തും പല പ്രാധാന്യങ്ങളാണ്. എല്ലായിടത്തും എണ്ണം എന്നതിനെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തി ഉപയോഗിക്കുന്നത്കൊണ്ടാണ്,അക്കങ്ങളുടെ പരിമിതികൾ നമ്മൾ അറിയാതെ പോകുന്നത്. പൂജ്യത്തെ നന്നായി അറിയുന്ന നമുക്ക്,ഇത് വരെ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം (division) എങ്ങനെയാണെന്ന് കണ്ടെത്താനായിട്ടില്ല. തെറ്റാണെന്നും,ശരിയാണെന്നും എന്തിനു,സാധ്യമല്ലെന്ന് പോലുംപറയാനായിട്ടില്ല.

ഒന്നും ഒന്നും രണ്ടാണെന്നത്,മിഥ്യയാണെന്ന് ഞാൻ പറഞ്ഞാൽ,അല്ല എന്ന് പറയുന്ന സാധാരണക്കാരന്റെ അത്രയും ആണെന്ന് പറഞ്ഞു ന്യായീകരിക്കാൻ എനിക്ക് കാരണങ്ങൾ നിരത്താം.
ഒന്നും രണ്ടും മൂന്നെന്ന്,രണ്ടും രണ്ടും നാലെന്ന് എല്ലാം നമ്മുടെ അളവുകളായി നാം തന്നെ വച്ചതാണ്. ഒന്നെന്നത് ഒരു കൃത്യമായ അളവായിരുന്നെങ്കിൽ, ഒരു വസ്തുവും,ഒരു വസ്തുവും ഒന്നായേനേ. ഒരു വസ്തുവും ഒരു വസ്തുവും ചേർത്താൽ,രണ്ട വസ്തു കിട്ടുമോ? വസ്തുക്കൾ ഒരേ തരാം ആണോ,രണ്ടു തരം ആണോ എന്നതിന് അനുസരിച്ചു ഇരിക്കുമത് . ഇപ്പറഞ്ഞതിൽ തന്നെ ഒന്നും രണ്ടും വീണ്ടും കടന്നു വന്നു. ഒരുതരം ,രണ്ടു തരം. ഇനി അതിലെ ഒന്നും രണ്ടും എന്താണ്? ഇതിങ്ങനെ നീണ്ടു പോകും.
എളുപ്പത്തില് നമ്മുടെ വിരലിന്റെ എണ്ണം പോലെ,നമ്മൾ പത്തു അക്കങ്ങളെഅങ്ങ്നിർവചിച്ചു ,ഇതും ഇതും കൂട്ടിയാൽ ഇതാണ്,കുറച്ചാൽ ഇതാണ്,ഗുണിച്ചാലും ഭരിച്ചാലും ഇങ്ങനെയാണ് എന്നും അങ്ങ്നിർവചിച്ചു .

ഒരു സംശയം സ്വാഭാവികമായും ഉയരാം. ഒന്നും ഒന്നും രണ്ടല്ലാത്ത ഒരു അവസ്ഥ കാണിച്ച തരാമോ എന്ന. അവിടെയും നിങ്ങൾക്ക് തെറ്റി. ഒന്നും ഒന്നും രണ്ടല്ലെങ്കിൽ,പിന്നെന്താണ് എന്ന ചോദ്യം പോലും, നമ്മുടെ നിർവചങ്ങൾക്ക് അടിമപെട്ടതാണ്. ഒന്നും ഒന്നും കൂട്ടിയാൽ അത് എന്തുമാവാം,എന്നതാവണം എന്ന നിബന്ധന വെക്കുന്നതിനു നമ്മളായിരിക്കണം അതിന്റെ സൃഷ്ടികർത്താവ്. നിലവിലെ ഒന്നും രണ്ടും നമ്മൾ സൃഷ്ടിച്ചത് കൊണ്ട്ആണ് നമുക്കതിനെ നിയമങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിഞ്ഞത്. ഒന്ന് രണ്ട മൂന്ന്..അങ്ങനെ ഒമ്പത് വരെയാണല്ലോ. എന്ത്കൊണ്ട് ഒമ്പതിൽ നിർത്തി ? അടിസ്ഥാന സംഘ്യകൾ,ഒരു ഇരുപതോ,മുപ്പതോ വരെ ആവാമായിരുന്നില്ലേ? അല്ലെങ്കിലൊരു അഞ്ചു വരെ? അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ ഗുണിതങ്ങളാക്കിയാൽ പോരായിരുന്നോ?
മതിയായിരുന്നു, ചില പ്രത്യേക സാഹചര്യങ്ങളിൽ പലയിടത്തും പത്തു സംഘ്യയുടെ ഉപയോഗം വർധിച്ചു,അവസാനമത് ആഗോളതലത്തിൽ common ആയി. രാജ്യാന്തരഭാഷയായി  ഇംഗ്ലീഷ് വന്ന പോലെ.
-------------------------------------------------------------------
സർവ്വതിലും നിര്വചനങ്ങളിൽ ഒതുങ്ങാതെ സ്വതന്ത്രമായ അക്കങ്ങൾ നിലവിലുണ്ടോ എന്നത് പരിശോധിക്കേണ്ടിയിരിക്കുന്നു. അക്കങ്ങളുടെ മാനത്തെ കുറിച്ച് ,മുമ്പുള്ള ചില ലേഖനങ്ങളിൽ ഞാൻ പരാമർശിച്ചിരുന്നു, ദ്വ്വിമാന  ,ത്രിമാന,ചതുര്മാന തലങ്ങളിലെ സംഘ്യകളെ കുറിച്ച. ദ്വിമാനത്തിൽ complex number ആയും,ത്രിമാനത്തിൽ matrix ആയും,ആണ് ഒന്നാം മാനത്തിൽ ആയ സാധാരണ നമ്പറുകൾ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നത് എന്നതായിരുന്നു അത്. കൃത്യമായി മുഴുവനായി എന്നതിൽ പറയാൻ കഴിഞ്ഞിരുന്നില്ല,അറിവിന്റെ പരിമിതിയായിരുന്നു കാരണം. ഇന്നും ആ പരിമിതികൾ കൂടെയുണ്ട്,അതുകൊണ്ട് മാനങ്ങളുടെ കണക്കിലെക് പിന്നീടൊരിക്കൽ പോകാം. ഇവിടെ ചതുര്മാന തലത്തിലും,അതിൽ ഉപരിയുള്ള മാനങ്ങളിലും,അക്കങ്ങളെ,മാട്രിക്സുകൾ ആയി റെപ്രെസെന്റ് ചെയ്യാം എന്ന് പറഞ്ഞിരുന്നു,എന്നാൽ ഈ മാട്രിക്സുകൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ അക്കങ്ങളെയല്ല,മറിച്ചു വിവരങ്ങളെയാണ് പ്രതിനിധാനം ചെയ്‌യുന്നത്‌. മാട്രിക്സുകളെന്ന പോലെ, സാധാരണ അക്കങ്ങളും ചില വിവരങ്ങളെയാണ് കാണിക്കുന്നത്. ഒന്ന് എന്നത് വെറുതെ നിന്നാൽ,ഒന്നുമില്ല എന്നതാണലോ. ഒന്നുമില്ല,അഥവാ പൂജ്യം എന്നതും വെറുതെനിന്നാൽ ഒന്നുമില്ല എന്നതാണ്. രണ്ടും മൂന്നും എല്ലാം അങ്ങനെ തന്നെ. ഇതെല്ലാം എന്തിനെയെങ്കിലും എണ്ണമോ അളവുകൾ ആയിരുന്നാൽ physical world ഇത് അതിനു അർഥം വരുന്നുള്ളു.

അപ്പൊ,അക്കം അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യ,അതിനു physical world എന്ന ഒരു ലോകത് മാത്രമേ സ്ഥാനമുള്ളൂ. physical അല്ലാതെ ലോകം അതിനില്ലലോ,എന്ന് വാദിക്കാമെങ്കിലും,ഇല്ലെന്നു നമുക്ക് തെളിയിക്കാൻ കഴിയാത്തതുകൊണ്ട് തന്നെ,ആ വാദം തള്ളിപ്പോകും.
അപ്പൊ physical world ആണ് പ്രശ്നക്കാരൻ. അതെന്താണെന്ന് അറിഞ്ഞാലല്ലേ ആടിനെ പറ്റി പറയാനാകൂ. ഒരുപാട് മാത്തമാറ്റിഷ്യൻസ് അതിനെ explain ചെയ്യാൻ ശ്രമിച്ചിട്ടുണ്ട്. യൂക്ലിഡ്,dekarthe ,ന്യൂട്ടൺ,ഹിൽബെർട്,ഐൻസ്റ്റീൻ...
സാധാരണ എല്ലാവരും പഠിക്കുന്ന കണക്കുകൾ,യൂക്ലിഡിയൻ ലോകത്തെ നിയമങ്ങളാണെന്ന് എത്രപേർക്ക് അറിയാം? പാഠപുസ്തകങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്നവർക്ക് മാത്രമേ ആ വിവരം അറിയുകയുള്ളൂ  എന്നത് വിദ്യ-അഭ്യാസത്തിന്റെ വലിയൊരു പരാജയമാണെന്നേ ഞാൻ പറയു .

ന്യുട്ടൺ തന്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ (കണക്കും ഫിസിക്‌സും,കൂടാതെ രൂപീകരണത്തിൽ ന്യൂട്ടൺ പ്രധാന പങ്കു വഹിച്ച കാല്കുലസിലും) ചില അധിഷ്ഠാന നിയമങ്ങൾ വിധേയമായ physical world ഇൽ മാത്രമേ ശരിയാവു എന്നും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. അത് പ്രാപഞ്ചികമാണെന്ന് കരുതിയിരുന്ന സമൂഹത്തിലേക്കാണ് ഒരുകൂട്ടം ശാസ്ത്രജ്ഞർ കടന്നു വന്നു quantum mechanics ഉം,relativity യും എല്ലാം കോറിവരച്ചിട്ടത്. ആപേക്ഷികതയുടെ കഥകൾ മെനയും മുമ്പ്,ഐൻസ്റ്റീൻ ചെയ്തത് പോലും,അത് വരെ ഉപയോഗശൂന്യമായി  കിടന്ന മിൻകോവിസ്കിയുടെ physical world കടമെടുത്താണ് ചെയ്തായിരുന്നു എന്നതാണ് വാസ്തവം.

എല്ലാ physical world കളെയും പൊതുവിലാക്കി ഒരു general world ഉണ്ടാക്കാൻ ശ്രമിച്ച ആളാണ്,ഹിൽബെർട്. ഹിൽബെർട് ഉണ്ടാക്കിയ ലോകത്തിനു,ഹിൽബെർട്ടിന്റെ തന്നെ നാമവും ലഭിച്ചു. (ഭൗതികത്തിൽ, world ,ലോകം എന്നതിനെ കണക്കിന്റെ ഭാഷയിൽ Space/സ്ഥലം  എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്)

ഐൻസ്റ്റീൻ തൻെറ ചിന്തകളെ കണക്കിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ,നേരിട്ട ഏറ്റവും വലിയ പ്രശ്നം,ഈ സംഘ്യയുടെയും ,മറ്റു ചില അടിസ്ഥാന ഘടകങ്ങളുടെയും പരസ്പര വിരുദ്ധതയും,അവയുടെ mutual dependence ഉം ആയിരുന്നു. ശരിയാക്കാൻ വഴിയില്ലെന്ന് മനസ്സിലായത് കൊണ്ടാവണം, വളരെയധികം ഉപയോഗമില്ലാത്ത കിടന്ന ടെൻസർ എന്ന കണക്കിലെ ഒരു സാധനത്തെ എടുത്തു,പുതിയൊരു ലോകവും,ലോകനിയമങ്ങളും ഉണ്ടാക്കി. ഇതിലെ ഏറ്റവും വലിയ പ്രത്യേകത എന്താണെന്ന് വച്ചാൽ,ഇതിലെ കണക്കുകൾക്ക് അതേത് ലോകത്തിലാണോ അവയുമായി dependence ഇല്ല എന്നതാണ്. സ്വാതന്ത്രം!

കണക്കുകൾക്ക് പൂർണ്ണ സ്വാതന്ത്ര്യമുള്ള ഒരു രൂപീകരണമാണ് റെൻസറുകൾ നൽകുന്നത്. അതിനെ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഐൻസ്റ്റീൻ എല്ലാം പിന്നീടങ്ങോട്ട് പറയുന്നത്. അപ്പോൾ,വേണമെങ്കിൽ ടെൻസറുകളെ പൂര്ണസ്വാതന്ത്ര്യ അക്കങ്ങൾ എന്നോ മറ്റോ വേണമെങ്കിൽ വിളിക്കാം. പക്ഷെ സാധാ അക്കങ്ങളെ പോലെ,അവ നിൽക്കുന്ന ലോകവുമായി കരാറൊപ്പിടാത്തത്കൊണ്ട്, അവക്ക് തനിയെ നിലനിൽകാം,സാധാരണ അക്കങ്ങളെ പോലെ,വസ്തുക്കളുടെ അവസ്ഥയോ മറ്റോ വേണം എന്നില്ല,സ്വയം defined ആവാൻ.
--------------------------------------------------

ഇപ്പൊ ഒന്നും ഒന്നും രണ്ടല്ലാ എന്ന് തെളിഞ്ഞോ?
ഇല്ല. പക്ഷെ ഒന്നും ഒന്നും രണ്ട എന്ന് പറയുന്നത് തന്നെ തെറ്റായേക്കാവുന്ന ലോകങ്ങൾ പ്രപഞ്ചത്തിലുണ്ടെന്ന് പറയാനായി.
ഒന്നോ രണ്ടോ എന്നത് എന്തിനെയെങ്കിലും എണ്ണത്തെയാണല്ലോ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കാൻ വസ്തു വേണമല്ലോ, കൃത്യമായ ഒരു വസ്തുവിനെ നമുക്ക് കിട്ടാത്ത അവസ്ഥ വന്നാലോ?
ഒരു വസ്തുവിന്റെ 10 ശതമാനം മാത്രമേ ഉള്ളുവെങ്കിലും, അങ്ങനത്തെ രണ്ടെണ്ണം കൂട്ടിയാൽ,നീങ്ങൽക് രണ്ടു വസ്തു കിട്ടുമോ? കിട്ടുമെങ്കിൽ അതെത്ര ശതമാനം ഉണ്ടാവും? ഇരട്ടിയായിരിക്കുമോ? അതോ 10 ശതമാനം തന്നെ ആയിരിക്കുമോ?
ഇതെന്ത് ചോദ്യം. അല്ലെ?
Quantum Mechanics ഇലെ ചില സംഭവങ്ങളുടെ കാര്യമാണ് പറഞ്ഞു വരുന്നത്. കണികകൾ ഇവിടെ ഉണ്ട്,അല്ലെങ്കിൽ ഇല്ല എന്ന് പറയാൻ പോലും നമുക്ക് പറയില്ല. കാരണം,അവ സഞ്ചരിക്കുന്ന വേഗത വളരെ വലുതാണല്ലോ.എത്ര കണികകൾ ഉണ്ട് ഒരു പാത്രത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വലയത്തിനകത് എന്ന് പറയണമെങ്കിൽ,നമുക്കതൊന്നു എണ്ണണമല്ലോ. പക്ഷെ എന്നും മുമ്പേ അവ പാഞ്ഞുകൊണ്ടിരിക്കാണലോ ,അപ്പോ എണ്ണം തെറ്റുമല്ലോ. അപ്പോളാണ് നമ്മൾ ശതമാനക്കണ്ണാക്കിലേക്ക് കടക്കുന്നത്. ഇത്ര സത്തമനാം,ഇവിടെ ഉണ്ടാവാൻ ചാൻസ് ഉണ്ട്,ഇത്ര ഉണ്ടാവാതിരിക്കാൻ ചാൻസ് ഉണ്ട് എന്ന് പറയാനേ കഴിയു. അങ്ങനത്തെ സ്ഥലങ്ങളിൽ,ഒന്നും രണ്ടും ഒന്നും പ്രായോഗികമല്ല.

അതിനു പരിഹാരമായിട്ടാണ് മാക്സ് ബോൺ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിനെ physical world ലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നത്. അതിൽ probability യുടെ കളികളാണ്. ഒന്നും രണ്ടും മൂന്നും കൂട്ടലുകളും ഗുണിക്കലും ഇല്ല. (അതിനകത്തു സംഘ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്. ഇവിടെ പറഞ്ഞു വരുന്ന ഒന്നും രണ്ടും ഒക്കെ,സാധാരണ സംഘ്യകൈലേറ്റിനെയാണ് പ്രതിനിധാനം ചെയ്യുന്നത്,സാധാരണ ഗണിതങ്ങളെ)

ഇതിലും രസകരമായ ഒരു സാധനം ഉണ്ട്. നമ്മൾ നിര്വചിച്ച,നമ്മളായിട്ട് ഉണ്ടാക്കിയെടുത്ത,എന്നാലതിനെ കൃത്യമായി മനസിലാക്കാൻ പോലും,സാധാരണ നമുക്ക് കഴിയാത്ത ഒന്ന്. സമയം.
ഒരു സെക്കന്റ് രണ്ട സെക്കന്റ് മൂന്ന് സെക്കന്റ് എന്നൊക്കെ പറയുമല്ലോ, ഒന്നും രണ്ടും മൂന്നും ഇല്ലാത്തിടത് സമയത്തിന് പറ്റും? ഇനി സമയം തന്നെയില്ലാത്തിടത്തു സമയത്തിനെന്തു പറ്റും? സമയമില്ലാത്തിടത്,സമയത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒന്നേ,രണ്ടേ,മൂന്നേ സെക്കന്റുകളിലെ ഒന്നിനും രണ്ടിനും മൂന്നിനും എന്ത് സംഭവിക്കും?